OMBRE

Quello delle ombre in proiezioni ortogonali non è un argomento semplice da trattare.

Questo non solo per l'oggettiva difficoltà dell'argomento, ma anche perchè tantissime sono le casistiche possibili, specialmente per quanto riguarda le figure solide.

Quasi ogni figura solida, infatti, richiede una precisa tecnica per determinarne l'ombra propria e l'ombra portata. E la questione si complica ulteriormente quando un solido (o qualsiasi altra entità geometrica) getta ombra su un altro. In quel caso la tecnica con cui procedere è molto diversa a seconda di come sia fatto o disposto il solido che prende ombra.

MATERIALE PRESENTE NELLA PAGINA

IN QUESTA PAGINA SI CERCHERA' DI FORNIRE UNA PANORAMICA GENERALE DI UN PO' TUTTE LE TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONE DELLE OMBRE IN PROIEZIONI ORTOGONALI.

NON TUTTE LE TECNICHE POTRANNO PURTROPPO ESSERE DESCRITTE NEL DETTAGLIO. SI CERCHERA' COMUNQUE DI RICOPRIRE, PER QUANTO POSSIBILE, IL MAGGIOR NUMERO DI CASISTICHE.

1) NOZIONI INTRODUTTIVE

In questo primo fascicolo di dispense si illustra come eseguire l'ombra delle entità elementari, introducendo anche i concetti di ombra propria e di ombra portata.

Il fascicolo contiene nell'ordine i seguenti argomenti, spiegati dettagliatamente e comprensivi di disegni esplicativi.

1) Ombra del punto;

2) Ombra del segmento;

3) Ombra di figure piane (poligoni e cerchio).

 

Una volta stabilita la posizione del raggio luminoso attraverso le sue proiezioni ortogonali, determinare l'ombra di queste entità elementari si risolve determinando l'ombra dei punti che le definiscono. L'ombra di un punto si ricava determinando le tracce della retta passante per esso e le cui proiezioni sono parallele alle proiezioni omonime del raggio luminoso.

Nel caso del cerchio, l'ombra può essere un altro cerchio oppure un'ellisse, a seconda di come è disposta la figura. Nel primo caso, si determineranno le ombre corrispondenti agli estremi di due diametri perpendicolari. Nel secondo caso, determinate le ombre dei quattro punti (gli estremi dei due diametri perpendicolari), si procederà ad eseguire la costruzione per otto punti dell'ellisse.

 

2) OMBRE DI SOLIDI A SPIGOLO E DI ROTAZIONE

In questo secondo fascicolo di dispense si tratta l'ombra delle figure solide.

Le figure solide possono considerarsi suddivisibili in due grandi gruppi: solidi a spigolo e solidi di rotazione (cilindro, cono e sfera).

Diverso è il modo di determinare l'ombra propria e l'ombra portata nelle due categorie di solidi. E specialmente la sfera si rivela insidiosa, poichè ha un modo tutto suo per poterne determinare l'ombra.

 

La presente dispensa contiene nell'ordine i seguenti argomenti, spiegati dettagliatamente e comprensivi di disegni esplicativi.

1) Generalità sulle ombre dei solidi a spigolo, e determinazione della linea separatrice per rilevare l'ombra propria del solido.

2) Ombra del prisma e della piramide;

3) Ombra del cono e del tronco di cono. Trattandosi di un solido di rotazione, la difficoltà sta nel determinare i punti che ne delineeranno l'ombra portata. Se il cono poggia sul P.O (come solitamente accade), la questione è semplice. Basterà determinare l'ombra portata del vertice. Poichè l'ombra dei punti che poggiano su P.O. coincide con la loro prima proiezione, l'ombra della base del cono coincide con la prima proiezione stessa della base. Dall'ombra portata del vertice su P.O. basterà dunque mandare le due tangenti alla base del cono per definire l'ombra portata in prima proiezione. L'ombra portata in seconda proiezione si ricava invece sapendo che le due proiezioni dell'ombra portata devono congiungersi sulla linea di terra. L'ombra propria si ricava invece da quella portata, con il metodo della linea separatrice, visibile in prima proiezione.

4) Ombra del cilindro poggiato sul P.O o con una generatirice sul P.O. La prima costruzione è quasi immediata, una volta capito il procedimento utilizzato per l'ombra del cono. La seconda costruzione risulta invece un po' più difficile per quanto riguarda la determinazione dell'ombra propria.

5) Ombra della piramide rovesciata.

6) Ombra della sfera. Della sfera si sa determinare direttamente solo l'ombra nel caso in cui il raggio luminoso sia parallelo al piano verticale P.V. In quel caso, infatti, si determinerà facilmente prima l'ombra propria, e successivamente quella portata. In seconda proiezione, l'ombra propria viene infatti determinata attraverso il diametro perpendicolare alla seconda proiezione del raggio luminoso. La prima proiezione di tale ombra propria è a questo punto automatica. Trovati quattro punti sulla sfera grazie all'ombra propria, si procede a determinarne l'ombra sui piani di proiezione per ricavare l'ombra portata della sfera.

Se il raggio luminoso risulta essere invece orientato in maniera qualsiasi, occorre riportarsi al caso dell'ombra della sfera investita da un raggio luminoso parallelo a P.V. tramite l'utilizzazione di un piano ausiliario. Tale piano proiettante avrà la prima traccia parallela alla prima proiezione del raggio luminoso e permetterà di ricavare una terza proiezione ausiliaria in cui la prima traccia del piano viene ad essere una nuova linea di terra.

 

La figura relativa a quest'ultimo caso è tratta dal testo "ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI" di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier - Firenze.

 

3) OMBRE DI PUNTI E SEGMENTI SU PIANI E FIGURE SOLIDE

Se l'elemento che getta ombra su un altro elemento (un piano o un solido) è un semplice punto o un segmento, la procedura da seguire è semplice.

Se l'elemento che prende ombra è un piano comunque orientato, occorre infatti seguire il metodo "dei piani interposti", che trovate descritto nelle dispense del sottostante fascicolo.

Se l'elemento che prende ombra è invece un solido (non importa se a spigolo o di rotazione), determinare l'ombra del punto o del segmento su di esso è possibile riconducendo il tutto ad un problema di intersezione. Immaginando cioè di far passare un piano proiettante per una delle due proiezioni del raggio d'ombra condotto da punto, si ricava l'intersezione tra questo piano e il solido.

 

Le figure relative a questi ultimi casi sono tratte dal testo "ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI" di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier - Firenze.

 

4) OMBRE DI SOLIDI SU SOLIDI

L'ombra che un solido getta su un altro solido viene determinata in modo differente a seconda di quale sia la natura dei solidi.

Se chiamiamo "solido a monte" il solido che getta ombra, e chiamiamo "solido a valle" il solido che prende tale ombra, possiamo dire che il metodo da seguire è determinato dalla natura del solido a valle.

Prima di procedere a determinare questa ombra, occorre assicurarsi che il solido a valle prenda effettivamente ombra dal solido a monte. A volte infatti può solo sembrare che questo accada, ma non essere realmente così. Il solido a valle prende ombra dal solido a monte solo se l'ombra portata del solido a monte interseca le proiezioni ortogonali del solido a valle.

 

Se il solido a valle è un solido a spigolo si utilizzeranno due metodi, a seconda di come sono inclinate le sue facce: il metodo dei piani orizzontali/ verticali oppure il metodo del raggio inverso.

Se invece il solido a valle è un solido di rotazione si dovrà utilizzare una terza proiezione ausiliaria.

5) OMBRE SU SOLIDI A SPIGOLO

Se il solido a valle è costituito da facce orizzontali e verticali (come accade ad esempio nei parallelepipedi), non necessariamente perpendicolari ai piani di proiezione, si rivela comodo utilizzare il metodo dei piani orizzontali e verticali.

Secondo tale metodo si determinerà l'ombra del solido a monte sui piani orizzontali e verticali che contengono le facce del solido a valle.

La tecnica è semplice: è del tutto identica a quella utilizzata per determinare l'ombra portata di un solido su P.O. o su P.V., con l'unica differenza che la linea di terra sarà posizionata o più in alto o più un passo, o più avanti o più indietro.

 

Se invece il solido a valle ha tante facce orientate a piacere (come accade ad esempio nei poliedri), un ottimo metodo da utilizzare è quello del raggio inverso. In questo metodo si vedrà dove le ombre portate dei due solidi si intersecano. Con un raggio parallelo alle proiezioni del raggio luminoso, si riporteranno i punti di intersezione tra le ombre sugli spigoli corrispondenti del solido a valle. I punti di intersezione così trovati definiranno l'ombra del solido a monte su quello a valle.

 

Le figure relative a questi due metodi sono tratte dai testi:

"ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI" di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier - Firenze.

"CONOSCENZA E RAPPRESENTAZIONE" di Leandro Maria Bartoli, Alinea Editrice.

 

Il metodo del raggio inverso ha però una grave lacuna. Non permette infatti di determinare l'ombra di quei punti che ricadono all'interno di una faccia comunque inclinata. In questo caso, il metodo del raggio inverso va accompagnato alla tecnica "dei piani interposti" o dei "piani orizzontali e verticali".

In realtà le due tecniche vengono spesso utilizzate da sole (senza cioè essere accompagnate dalla tecnica del raggio inverso) qualora l'elemento che getta ombra sia un punto o un semplice segmento.

6) OMBRE SU SOLIDI DI ROTAZIONE

Se il solido a valle è un solido di rotazione, occorre eseguire una procedura completamente diversa.

Abbiamo visto che, se l'elemento che getta ombra è un semplice punto o segmento, la sua ombra si determina molto facilmente, riconducendo il tutto ad un problema di intersezione tra un piano e un solido di rotazione.

Se invece l'elemento che getta ombra è un solido (a spigolo o di rotazione), occorre costruire una terza proiezione ausiliaria e ricondurre nuovamente la questione ad un problema di intersezione tra un piano e un solido di rotazione.

 

TAVOLE SVOLTE

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